Question

把二次函数y=-x²+bx+c的图象沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标是（-2，0），
（1）写出原抛物线所对应的函数关系式．
（2）原抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）逆向平移：把点（-2，0）沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），然后根据顶点式写出原抛物线解析式；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征分别求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）点（-2，0）沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（3，1），
所以原抛物线的解析式为y=-（x-3）²+1=-x²+6x-8；
（2）当x=0时，y=-x²+6x-8=-8，则C点坐标为（0，-8），
当y=0时，-x²+6x-8=0，解得x₁=2，x₂=4，则A点和B点坐标为（2，0）、（4，0），
所以△ABC的面积=

1

2

×（4-2）×8=8．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．