Question

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是角平分线，ED⊥AB，垂足为D．求证：
（1）AE垂直平分CD；
（2）AB=AC+CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）求出∠CAE=∠DAE，∠ACE=∠ADE=90°，根据AAS推出△ACE≌△ADE，根据全等得出AC=AD，DE=EC，根据等腰三角形的性质得出即可．
（2）求出BD=DE，由（1）得出AC=AD，CE=DE=BD，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠DAE，
∵ED⊥AB，
∴∠ACE=∠ADE=90°，
在△ACE和△ADE中，

∠ACE=∠ADE ∠CAE=∠DAE AE=AE

，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AC=AD，DE=EC，
∵∠CAE=∠DAE，
∴AE垂直平分CD；

（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠DEB=∠B=45°，
∴BD=DE，
∵AC=AD，CE=DE=BD，
∴AB=AD+BD=AC+CE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质的应用，能推出△ACE≌△ADE是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．