Question

15．已知：在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高，点P是AC边上任意一点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，交CD于点F．
（1）如图1所示，若AD=CD，探究线段PF，CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2所示，若AD=kCD，求$\frac{PF}{CE}$的值（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）结论：PF=2CE．由△PCE∽△BCD∽△CEF，得$\frac{PE}{CD}$=$\frac{CE}{BD}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，即$\frac{PE}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$①，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BD}{CD}$②，①-②得$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，由PE-EF=PF，可得$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，设CD=a，则AD=a，AC=AB=$\sqrt{2}$a，推出BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a，可得$\frac{PF}{CE}$=$\frac{a}{（\sqrt{2}-1）a}$-$\frac{（\sqrt{2}-1）a}{a}$=2．

（2）结论：$\frac{PF}{CE}$=2k．由（1）知：△PCE∽△BCD∽△CEF，同理可得：$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，设CD=b，则AD=kb，AC=AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$b，推出BD=AB-AD=（$\sqrt{1+{k}^{2}}$-k）b，可得$\frac{PF}{CE}$=$\frac{b}{（\sqrt{1+{k}^{2}}-k）b}$-$\frac{（\sqrt{1+{k}^{2}}-k）b}{b}$═2k．

解答 解：（1）结论：PF=2CE．理由如下，
∵CD是AB边上的高，PE⊥BC
∴∠BDC=∠PEC=90°
∴∠DCB=90°-∠B，∠CPE=90°-∠ACB
∵AB=AC
∴∠DCB=∠CPE
∴△PCE∽△BCD∽△CEF
∴$\frac{PE}{CD}$=$\frac{CE}{BD}$，$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，即$\frac{PE}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$①，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BD}{CD}$②
    ①-②得$\frac{PE-EF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
∵PE-EF=PF
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
设CD=a，则AD=a，AC=AB=$\sqrt{2}$a
∴BD=AB-AD=（$\sqrt{2}$-1）a
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{a}{（\sqrt{2}-1）a}$-$\frac{（\sqrt{2}-1）a}{a}$=2，
∴PF=2CE

（2）结论：$\frac{PF}{CE}$=2k．理由如下，
如图2，由（1）知：△PCE∽△BCD∽△CEF，
     同理可得：$\frac{PF}{CE}$=$\frac{CD}{BD}$-$\frac{BD}{CD}$，
设CD=b，则AD=kb，AC=AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$b
∴BD=AB-AD=（$\sqrt{1+{k}^{2}}$-k）b
∴$\frac{PF}{CE}$=$\frac{b}{（\sqrt{1+{k}^{2}}-k）b}$-$\frac{（\sqrt{1+{k}^{2}}-k）b}{b}$═2k．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用相似三角形的性质解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．