Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是腰AB、AC上的高，交于点O．
（1）求证：OB=OC．
（2）若∠ABC=65°，求∠COD的度数．

Answer 1

分析 （1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠COD的度数．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在△BEC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CDB}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD，
在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\\{∠BEC=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）解：∵∠ABC=65°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×65°=50°，
∴∠COD=∠A=50°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．