Question

17．△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α．
（1）如图①所示，如果点P在线段BA上，且α=30°，那么∠PEB+∠PDA=90°；
（2）如图②所示，如果点P在线段BA上运动，
①依据题意补全图形；
②写出∠PEB+∠PDA的大小（用含α的式子表示）；并说明理由．
（3）如果点P在线段BA的延长线上运动，直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系（用含α的式子表示）．那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是60°+α或60°-α或60°；．

Answer 1

分析 （1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．

解答 解；（1）∠PEB+∠PDA=90°；理由如下；
连接PC，如图1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角
∴∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+30°=90°
故答案为：90°；
（2）①如图2所示；
②连接PC，如图3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+α；
∴∠PEB+∠PDA=60°+α；
（3）分三种情况：
①如图4所示：
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA=∠1+∠2
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB+∠3=60°+α；
②如图5所示：连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2+∠3，
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB-∠3=60°-α；
③如图6所示：P、D、E在同一条直线上，连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB-∠PDA=∠ACB=60°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是60°+α或60°-α或60°；
故答案为：60°+α或60°-α或60°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了三角形的外角性质、角之间的数量关系；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线运用三角形的外角性质是解决问题的关键，注意（3）中分类讨论．