Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y轴于点Q．设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，若OP＜10$\sqrt{2}$，求b的取值范围．

Answer 1

分析 先过P作x轴、y轴的垂线，构造正方形以及全等三角形，根据全等三角形的性质以及正方形的性质得到OQ+TQ=OT=OH，进而得出关系式a=$\frac{1}{2}$b+1，再根据a的取值范围，求得b的取值范围．

解答 解：过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，
∵点P在函数y=x（x＞0）的图象上，
∴PH=PT，且PH⊥PT，
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT，
又∵∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ（ASA），
∴AH=TQ，
∵A（2，0），点P的横坐标为a，
∴AH=2-a=TQ，
∵OQ+TQ=OT=OH，点Q的纵坐标为b，
∴b+（2-a）=a，
∴a=$\frac{1}{2}$b+1，
又∵0＜OP＜10$\sqrt{2}$，且Rt△OHP中，OP=$\sqrt{2}$a，
∴0＜$\sqrt{2}$a＜10$\sqrt{2}$，
解得0＜a＜10，
即0＜$\frac{1}{2}$b+1＜10，
解得-2＜b＜18．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．