Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过点A（-2，0）和原点，点B在抛物线上且tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，抛物线的对称轴与x轴相交于点P．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；
（2）点C为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO∥BC，求点C的坐标；
（3）点D在AB上，若△ADP相似于△ABP，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设B（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m），由题意tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，解得m=±2，由点B在第一象限，推出m=2，B（2，2）当y=2时，$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=2，解得x=-4或2，推出C（-4，2）；
（3）由题意直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，设D（n，$\frac{1}{2}$n+1），因为∠DAP=∠PAB，所以只有△APD∽△ABP时，AD²=AD•AB，由AP=1，AB=2$\sqrt{5}$，推出AD=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，可得（n+2）²+（$\frac{1}{2}$n+1）²=（$\frac{\sqrt{5}}{10}$）²，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{1-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x，
∵对称轴x=-$\frac{\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{4}}$=-1，
∴P（-1，0）．

（2）设B（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m），
由题意tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=±2，
∵点B在第一象限，
∴m=2，B（2，2）
当y=2时，$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=2，解得x=-4或2，
∴C（-4，2）

（3）由题意直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，设D（n，$\frac{1}{2}$n+1），
因为∠DAP=∠PAB，所以只有△APD∽△ABP时，AD²=AD•AB，
∵AP=1，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴（n+2）²+（$\frac{1}{2}$n+1）²=（$\frac{\sqrt{5}}{10}$）²，
解得n=-$\frac{9}{5}$或-$\frac{11}{5}$，
∵n＞-2，
∴n=-$\frac{9}{5}$，
∴D（-$\frac{9}{5}$，$\frac{1}{10}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会根据为方程解决问题，属于中考压轴题．