Question

15．如图，∠ACD是△ABC的外角，第1次操作：∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁；第2次操作：∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…第n次操作：∠A_n-1BC的平分线与∠A_n-1CD的平分线交于点A_n，则∠A₂与∠A之间的数量关系是∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A；若∠A=64°，∠A_n≤4°，则n的取值范围是n≥4．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂；
（2）根据计算结果，发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$的规律即可得∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，再把∠A=64°代入∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A≤4°解答即可．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{4}$∠A；
根据以上规律可得∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
当∠A=64°，∠A_n≤4°时，$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A≤4°，
解得n≥4，
故答案为：∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A，n≥4．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD是解答此题的关键．