Question

6．如图，点A（2，2$\sqrt{3}$），N（1，0），∠AON=60°，点M为平面直角坐标系内一点，且MO=MA，则MN的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 MO=MA知点P在AO中垂线上，当MN⊥PQ时MN最小，利用△PMN∽△PQO得$\frac{PN}{PO}$=$\frac{MN}{QO}$，据此求解可得．

解答 解：如图，过点A作AB⊥x轴，

则OB=2、AB=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∵cos∠AOB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=60°，
作AO的中垂线交x轴于点P，交OA于点Q，
则OQ=AQ=2，
∴OP=$\frac{OQ}{cos∠AOB}$=4，
∵N（1，0），
∴PN=3，
∵MO=MA，
∴点M在PQ上，
当MN⊥PQ时，MN最小，
∵PQ⊥OA、PQ⊥MN，
∴△PMN∽△PQO，
∴$\frac{PN}{PO}$=$\frac{MN}{QO}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{MN}{2}$，
解得：MN=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握中垂线的性质得出点M的位置时解题的关键．