Question

6．设二次函数y=x²-2px-p的图象与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）证明：2px₁+x${\;}_{2}^{2}$+3p＞0
（2）若|AB|＜|2p-3|，求p的范围．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系以及方程的根的定义利用p表示出2px₁+x${\;}_{2}^{2}$+3p，然后利用根的判别式即可证得；
（2）利用p表示出AB的长，则可以得到一个关于p的不等式，从而求解．

解答 解：（1）根据题意得：x₁+x₂=2p，x₂x₂=-p，x₂²-2px₂-p=0，
则2px₁+x₂²+3p
=2px₁+2px₂+p+3p
=2p（x₁+x₂）+4p
=4p²+4p，
∵△=（-2p）²+4p=4p²+4p＞0，
∴2px₁+x₂²+3p＞0；
（2）AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{{p}^{2}+p}$，
即2$\sqrt{{p}^{2}+p}$＜|2p-3|，
即（2$\sqrt{{p}^{2}+p}$）²＜（2p-3）²，
4p²+4p＜4p2-12p+9，
∴p＜$\frac{9}{16}$，
又∵4p²+4p＞0，
p²+p＞0，p（p+1）＞0，
∴p＜-1或p＞0．
综上0＜p＜$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点与对应的一元二次方程的关系，与x轴的交点的横坐标就是方程的解．