Question

7．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D的坐标为（1，-1），P是第四象限内抛物线上一动点，以PB为直径的圆经过点D，求经过点P且和这个圆相切的直线的解析式．

Answer 1

分析 根据题意可以求得线段PB的中点坐标，然后根据以PB为直径的圆经过点D，P是第四象限内抛物线上一动点，可以求得点P的坐标，从而可以求得经过点P且和这个圆相切的直线的解析式．

解答 解：∵y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D的坐标为（1，-1），P是第四象限内抛物线上一动点，
∴设点P的坐标为（a，a²-2a-3），
∴线段PB的中点坐标是（$\frac{a+3}{2}，\frac{{a}^{2}-2a-3}{2}$），
∵以PB为直径的圆经过点D，
∴$\sqrt{（\frac{{a}^{2}-2a-3}{2}+1）^{2}+（\frac{a+3}{2}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{（{a}^{2}-2a-3-0）^{2}+（a-3）^{2}}}{2}$，
解得，a=2或a=-2（舍去），
∴点P的坐标是（2，-3），
设过点P（2，-3）和点B（3，0）的直线的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$
即过点P（2，-3）和点B（3，0）的直线的解析式为y=3x-9，
∴可设过点P（2，-3）且和这个圆相切的直线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}x+c$，
∴-3=$-\frac{1}{3}×2+c$，得c=$-\frac{7}{3}$，
即过点P且和这个圆相切的直线的解析式为：y=$-\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．