Question

18．如图，抛物线y=-x²+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF$\stackrel{∥}{=}$OC，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC=$\frac{4}{3}$时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把一般式配成顶点式即可得到B点坐标；
（2）抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，利用正切定义可计算出EH，从而得到E点坐标为（3，4）或（3，-4），然后分别计算函数值为4和-4所对应的自变量的值即可得到满足条件的F点的坐标；
（3）如图，利用平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高得到OC′=2OC，则可设OC=t，则OC′=2t，于是得到F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，然后利用点F和F′的纵坐标互为相反数可列方程-（3+t-3）²+9+[-（3+2t-3）²+9]=0，解方程求出t的值，则可得到F点的坐标，从而得到E点坐标，最后利用正切的定义求解．

解答 解：（1）∵y=-x²+6x=-（x-3）²+9，
∴B（3，9）；
（2）抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，
∵tan∠EOC=$\frac{4}{3}$，即tan∠EOH=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{EH}{OH}$=$\frac{4}{3}$，
∴EH=4，
∴E点坐标为（3，4）或（3，-4），
当y=4时，-（x-3）²+9=4，解得x₁=3-$\sqrt{5}$（舍去），x₂=3+$\sqrt{5}$，
当y=-4时，-（x-3）²+9=-4，解得x₁=3-$\sqrt{13}$（舍去），x₂=3+$\sqrt{13}$，
∴F点坐标为（3+$\sqrt{5}$）或（3+$\sqrt{13}$，-4）；
（3）如图，∵平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高，
∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC，
设OC=t，则OC′=2t，
∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，
而点F和F′的纵坐标互为相反数，
∴-（3+t-3）²+9+[-（3+2t-3）²+9]=0，解得t₁=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，t₂=-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$（舍去），
∴F点坐标为（3+$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，$\frac{27}{5}$），
∴E（3，$\frac{27}{5}$），
∴tan∠EOC=$\frac{\frac{27}{5}}{3}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；理解坐标与图形性质以及锐角三角函数的定义；会解一元二次方程；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．