Question

19．如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且a、b满足二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，且AB=5．
（1）求点A、B坐标．
（2）现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB匀速运动，时间为t，线段 BP的长为d，请用含t的式子表示d．
（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的垂线交直线OP于点M，当△BOP与△BMP的面积比为3：2时，求t值和点M坐标．

Answer 1

分析 （1）用加减消元法解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，即可；
（2）分两种情况表示：点P在线段AB上和点P在线段AB的延长线上即可；
（2）分两种情况表示：点P在线段AB上和点P在线段AB的延长线上，利用平行线分线段成比例定理和比例的基本性质即可．

解答 解：（1）∵a、b满足二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{4a-5b=1}\\{5a-2b=14}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∵A（0，a），B（b，0），
∴A（0，4），B（3，0），
（2）∵一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB匀速运动，时间为t，
∴AP=2t，
①如图1，

点P在线段AB上时，（0≤t≤$\frac{5}{2}$），
∵AB=5，
∴d=BP=AB-AP=5-2t，
②如图2，

点P在线段AB延长线时，（t＞$\frac{5}{2}$），
∵AB=5，
∴d=BP=AP-AB=2t-5，
∴d=$\left\{\begin{array}{l}{5-2t（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{2t-5（t＞\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$，
（3）①如图3，

当点P在线段AB上时，过点B作BC⊥OM，
∵过点B作x轴的垂线交直线OP于点M，
∴BM∥OA，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{OP}{PM}$=$\frac{OA}{BM}$，
∵△BOP与△BMP的面积比为3：2，
∴$\frac{\frac{1}{2}OP×BC}{\frac{1}{2}PM×BC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{OP}{PM}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{3}{5}$，
∵AB=5，
∴AP=3，
由（1）有AP=2t，
∴2t=3，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{AP}{BP}=\frac{OA}{BM}$=$\frac{3}{2}$，且OA=4，
∴BM=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，$\frac{8}{3}$）．

方法2，如图5，

∵S_△BOP=$\frac{1}{2}$OB×PH，S△_BMP=S_△OBM-S_△BPO=$\frac{1}{2}$OB×BM-$\frac{1}{2}$OB×PH=$\frac{1}{2}$OB（BM-PH），
∴$\frac{\frac{1}{2}OB×（BM-PH）}{\frac{1}{2}OB×PH}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BM-PH}{PH}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BM}{PH}=\frac{5}{3}$，
设PH=3a，BM=5a，
∴M（3，5a），
∴直线OM的解析式为y=$\frac{5}{3}$ax
∴当y=3a时，x=$\frac{9}{5}$，
∴H（$\frac{9}{5}$，3a），
∵A（0，4），B（3，0），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∵点H在直线AB上，
∴-$\frac{4}{3}$×$\frac{9}{5}$+4=3a，
∴a=$\frac{8}{15}$，
∴5a=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，$\frac{8}{3}$）．
②如图4，

点P在线段AB延长线时，过点P作PD⊥y轴于D，交BM延长线于E，
∴PE∥OB，
∵△BOP与△BMP的面积比为3：2，
∴$\frac{{S}_{△BOP}}{{S}_{△BMP}}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△BOM}}{{S}_{△BMP}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BM×OB}{\frac{1}{2}BM×PE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{PE}=\frac{1}{2}$
∵B（3，0），
∴OB=3，
∴PE=6，
方法一∵△AOB∽△BEP，
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{OB}{PE}$，
∴BP=$\frac{AB×PE}{OB}$=$\frac{5×6}{3}$=10，
由（1）有，BP=2t-5，
∴2t-5=10，
∴t=$\frac{15}{2}$，
在Rt△BEP中，PB=10，PE=6，
∴BE=8，
∵PE∥OB，
∴$\frac{BM}{ME}=\frac{OB}{PE}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BM}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴BM=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{8}{3}$，
∴M（3，-$\frac{8}{3}$）．
方法二：
∵OB=3，
∴PD=9，
∵A（0，4），B（3，0），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴P（9，-8），
∴直线OP解析式为y=-$\frac{8}{9}$x，
当x=3时，y=-$\frac{8}{3}$，
∴M（3，-$\frac{8}{3}$）

点评 此题是三角形综合题，主要考查了二元一次方程组的解法，平行线分线段成比例定理，比例的基本性质，解本题的关键是用同底的两个三角形面积比等于高的比．