Question

10．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）²-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S_△ABN=S_△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x+1）²-4与y轴相交于点C（0，-3）．
∴-3=a-4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）²-4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）²-4，
∴M（-1，-4），
由（1）抛物线解析式为y=x²+2x-3，
令y=0，
∴x²+2x-3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∴BC²=9+9=18，CM²=1+1=2，BM²=4+16=20，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，

由（2）有△BCM是直角三角形，BC²=18，CM²=2，
∴BC=3$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{2}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$BC×CM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S_△ABN+S_△ABC=S_△BCM+S_△ABC，
∴S_△ABN=S_△BCM=3，
∵A（1，0），B（-3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$×AB×n=$\frac{1}{2}$×4×n=2n=3，
∴n=$\frac{3}{2}$，
∵N在抛物线解析式为y=x²+2x-3的图象上，
∴m²+2m-3=$\frac{3}{2}$，
∴m₁=-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，m₂=-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∴N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
②如图2，

②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=-x-3，
设MN的解析式为y=-x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）²-4①，
∴M（-1，-4），
∴直线MN解析式为y=-x-5②，
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴N（-2，-3），
即：N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-2，-3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．