Question

8．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴分别交于点A、B．
（1）点C在x轴上，并使得△ABC是等腰三角形，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点C．（保留作图痕迹）
（2）求（1）中作出的点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形两边相等画出点C；
（2）运用分类讨论的数学思想，以AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断，即可解决问题．

解答 解：（1）①以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C₁、C₄；
②以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C₂；
③作AB的中垂线，交x轴于C₃，连接BC₃，此时AC₃=BC₃；
所以符合条件的点C一共有4个；

（2）当x=0时，y=3，
∴OB=3，
当y=0时，x=4，
∴OA=4，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
①当AB=AC₁=AC₄=5时，此时C₁（-1，0）、C₄（9，0），
②当AC₃=BC₃时，则AD=2.5，
cos∠BAO=$\frac{AO}{AB}=\frac{AD}{A{C}_{3}}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{2.5}{A{C}_{3}}$，
∴AC₃=$\frac{25}{8}$，
∴OC₃=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴C₃（$\frac{7}{8}$，0），

③当AB=AC₂=5时，此时C₂与A关于y轴对称，
∴C₂（-4，0），
综上所述，点C的坐标是：（-1，0）或（-4，0）或（$\frac{7}{8}$，0）或（9，0）．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，以AB为腰或底两种情况来分类解析，逐一判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．