Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A₁，A₂…，A_n都在x轴的正半轴上，OA₁=1，A₁A₂=2，…A_n-1 A_n=n，分别以OA₁，A₁A₂，…A_n-1 A_n为边，在x轴上方作等边三角形△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，…△A_n-1 A_nB_n，点B₁，B₂，…，B_n均落在第一象限，现有一动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿折线O→B₁→A₁→B₂→A₂→…→B_n→A_n运动，则经2017秒后点P的坐标是（1008.5，$\frac{37\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 先依次确定点A₁、A₂、A₃、…、A₄₄的坐标，此时离2017还差37秒，再从A44前进37秒即可，确定P所在边的位置，根据三角函数求值即可．

解答 解：由题意得：
第1个三角形：边长为1，第1×2=2秒时，动点P落在A₁（1，0）；
第2个三角形，边长为2，第2×3=6秒时，动点P落在A₂（3，0）；
第3个三角形，边长为3，第3×4=12秒时，动点P落在A₃（6，0）；
…
第44个三角形，边长为44，第44×45=1980秒时，动点P落在A₄₄（990，0）；
2017-1980=37，
∴第2017秒时，点P落在边A₄₄B₄₅上，如图所示，
过P作PG⊥x轴于G，
∵∠PA₄₄G=60°，
∴sin60°=$\frac{PG}{{A}_{44}P}$，
∴PG=37×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{37\sqrt{3}}{2}$，
同理得：A₄₄G=$\frac{37}{2}$=18.5，
∴OG=990+18.5=1008.5，
∴P（1008.5，$\frac{37\sqrt{3}}{2}$），
故答案为：（1008.5，$\frac{37\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题是有关点的坐标的规律题，根据图形选择一个比较好求的点的坐标，本题选择求一系数A点的坐标，因为此点在x轴上，其纵坐标为0，利用数形结合的思想解决问题，与特殊的三角函数相结合，使问题得以解决．