Question

10．在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．
（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；
（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；
（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）依题意画出图形，如图1所示，先判断出∠BPD=∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单计算即可；
（2）先判断出∠CBA=∠CAB，∠BPD=∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单代换即可；
（3）先求出BH=2-$\sqrt{3}$，再根据勾股定理得，AB=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，然后判断出△PAD∽△CAB，从而求出AD．

解答 解：（1）依题意补全图形，如图1所示，

过点P作PE∥AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AB=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，
∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
∵∠PBA=∠PEB=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°，
∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=135°，
∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=90°；
（2）如图2，

过点P作PE∥AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，
∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
∵∠PBA=∠PEB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=α；
（3）如图3，

作AH⊥BC，
∵∠ACB=30°，AC=2，
∴AH=1，CH=$\sqrt{3}$，
∴BH=2-$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得，AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，
∵∠APC=135°，
∴∠APH=45°，
∴AP=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$，
∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，
∴△PAD∽△CAB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，判断△PDB≌△PAE是解本题的关键，也是难点．