Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，点E从点A开始，沿射线AB方向平移，在平移过程中，以线段AE为斜边向上作等腰三角形AEF，当EF过点C时，点E停止移动，设点E平移的距离为x（cm），△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为y（cm²）．
（1）当点F落在CD上时，x=4cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设EF的中点为Q，直接写出在整个平移过程中点Q移动的距离．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰直角三角形的性质得出AF，AE的长，进而求出答案；
（2）分段讨论，①当0＜x≤4时，②当4＜x≤6时，③当6＜x≤8时，进而求出答案；
（3）根据题意得出Q点移动到C点时，即AQ的长就是中点Q移动的距离，进而得出答案．

解答 解：（1）如图1，

∵点F落在CD上，△AEF是等腰直角三角形，
∴可得AD=DF=2cm，则AF=AE=2$\sqrt{2}$cm
∴x=AE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4（cm），
故答案为：4cm；

（2）①当0＜x≤4时，如图2所示，

过点F作FH⊥AB于H，
则FH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
∴y=S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•FH=$\frac{1}{2}$x$•\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
②当4＜x≤6时，如图3所示，

过点F作FH⊥AB于H，FH交CD于点G，AF，EF分别交CD于M，N，
由题意可得：△MNF是等腰直角三角形，
∴FG=FH-GH=$\frac{1}{2}$x-2，
∴MN=2FG=2（$\frac{1}{2}$x-2）=x-4，
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$MN•FG=$\frac{1}{2}$（x-4）（$\frac{1}{2}$x-2）=（$\frac{1}{2}$x-2）2，
∴y=S_△AEF-S_△MNF=$\frac{1}{4}{x}^{2}-（\frac{1}{2}x-2）^{2}$=2x-4．
③当6＜x≤8时，如图4所示，

过点F作FH⊥AB于H，FH交CD于点G，AF、EF分别交CD于M、N，EF交BC于点P，
由题意可得：△MNF，△EPB都是等腰直角三角形，
S_MNF=（$\frac{1}{2}$x-2）2，
S_△EPB=$\frac{1}{2}$EB•BP=$\frac{1}{2}$（x-6）²，
∴y=S_△AEF-S_△MNF-S_△EPB=-$\frac{1}{2}$x²+8x-22，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{2x-4（4＜x≤6）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+8x-22（6＜x≤8）}\end{array}\right.$；

（3）如图5，∵EF的中点为Q，
∴当E点停止时，可得△ADM，△FMC，△CBE为等腰直角三角形，
则AD=DM=2cm，BC=BE=2cm，故MC=4cm，AE=8cm，
∴$\frac{MC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴此时C，Q点重合，
∴AQ=2$\sqrt{10}$cm，
即在整个平移过程中点Q移动的距离为2$\sqrt{10}$cm．

点评 此题主要考查了四边形综合以及勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识，正确分段讨论得出y与x的关系式是解题关键．