Question

17．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，3）．将△OCA沿直线CA翻折，得到△DCA，且DA交CB于点E．
（1）求证：EC=EA；
（2）求点E的坐标；
（3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质得到∠DAC=∠OAC，由于四边形OABC是矩形，得到BC∥OA，求得∠BCA=∠OAC证得∠ECA=∠EAC，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结果；
（3根据前面的结论推出△ACE∽△BED，得到比例式$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$，求得BD=$\frac{7}{5}$，于是得到四边形DCAB的周长=AC+AB+BD+CD=$\frac{62}{5}$，四边形DCAB的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{5}$+5）×$\frac{12}{5}$=$\frac{192}{25}$．

解答 （1）证明：∵将△OCA沿直线CA翻折得到△DCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠BCA=∠OAC
∴∠ECA=∠EAC，
∴EC=EA；

（2）解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠D=∠B=90°，BC=OA，
∵A，C的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA=4，OC=3，
∵AD=OA，
∴BC=AD，
由（1）知，CE=AE，
∴BE=DE，
在R_t△ABE中，AE²=AB²+BE²，
即（4-BE）²=3²+BE²，
∴BE=$\frac{7}{8}$，
∴CE=4-BE=$\frac{25}{8}$，
∴E（$\frac{25}{8}$，3）；

（3）解：∵∠AEC=∠BED，AE=CE，BE=DE，
∴∠DBE=$\frac{180°-∠BED}{2}$，∠ECA=$\frac{180°-∠AEC}{2}$，
∴∠DBE=∠ECA，
∴△ACE∽△BED，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}$，
∵AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴$\frac{BD}{5}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{25}{8}}$，
∴BD=$\frac{7}{5}$，
∴四边形DCAB的周长=AC+AB+BD+CD=$\frac{62}{5}$，
四边形DCAB的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{7}{5}$+5）×$\frac{12}{5}$=$\frac{192}{25}$．

点评 本题考查了图形的变换-翻折，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．