Question

2．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，BF=BG，∠GBF=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．若∠CPD=60°，PG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，DF=8，则菱形的边长为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 延长GP交DA于点E，连接EC，GC，可证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中由三角函数可求得PC，在Rt△PCD中，由勾股定理可求得DC，可得出答案．

解答 解：如图，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵BF=BG，∠GBF=60°，
∴△BGF正三角形，
∵∠ABC=60°，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPE=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△FPG（ASA），
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=∠CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDE=∠CBE=60°}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=$\frac{1}{2}$∠ECG=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴PC=$\frac{5}{2}$，
∵P为DF的中点，
∴DP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△PCD中，CD=$\sqrt{D{P}^{2}-C{P}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}=\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．