Question

12．定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（2）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=$\sqrt{6}$，AC=$1+\sqrt{3}$，BC=2，BE是⊙O的直径，交AC于D．
①求证：△ABC是勾股三角形；②求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据内角和定理，题中新定义，以及已知等式求出x+y的值即可；
（2）①过B作BH垂直于AC，设AH=x，表示出CH，利用勾股定理表示出BH，再利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，表示出AH，BH，HC，利用题中新定义判断即可得证；
②连接CE，利用圆周角定理得到三角形BCE为等腰直角三角形，根据BC与CE的长求出BE的长，过D作DK垂直于AB，设KD=h，表示出BK与AK的长，根据AK+BK=AB关于h的方程，求出方程的解得到h的值，即可求出DE的长．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2160①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}②}\\{x+y+z=180③}\end{array}\right.$，
由③得：z=180-（x+y），
代入②得：（x+y）²-2xy=[180°-（x+y）]²，
把①代入得：x+y=102；
（2）①过B作BH⊥AC于H，设AH=x，则CH=1+$\sqrt{3}$-x，
Rt△ABH中，BH=$\sqrt{6-{x}^{2}}$，
Rt△CBH中，根据勾股定理得：6-x²+（1+$\sqrt{3}$-x）²=4，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，
∴∠A=45°，∠ABC=75°，∠C=60°，
∵45²+60²=75²，
∴△ABC是勾股三角形；
②连接CE，则∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$，
过D作DK⊥AB于K，设KD=h，则BK=$\sqrt{3}$h，AK=h，
由AB=AK+BK=（$\sqrt{3}$+1）h=$\sqrt{6}$，得到h=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
则DE=BE-BD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 此题属于圆综合题，涉及的知识有：勾股定理，内角和定理，圆周角定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．