Question

5．如图（1），在平面直角坐标系中．以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为$\sqrt{2}$-1，直线l：y=x-$\sqrt{2}$与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（-4，1），⊙B与x轴相切于M
（1）求A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度沿x轴正方向平移，同时直线l绕点A逆时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切，问直线AC绕点A每秒旋转多少度？
（3）如图（2）过A、O、C三点作⊙O₁，点E是劣弧AO上一点，连接EC、EA、ED，当点E在劣弧AO上运动时（E不与A、O两点重合），则$\frac{EC-EA}{EO}$的值是否发生变化？如果不变，求其值：如果变化，说明理由

Answer 1

分析 （1）由直线l的方程可求得A、C的坐标，在Rt△AOC中可求得∠CAO的度数；
（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，直线l旋转到l₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O，B₁N．由相切可求得OB₁，可求得t的值，连接B₁A，B₁P，可证得PA∥B₁O，则可求得∠1=90°，可求得直线l旋转的角度；
（3）由（1）可知AC为⊙O₁的直径，在CE截取CM，使CM=AE，OA=OC，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，利用SAS得到三角形AOE与三角形COM全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用同角的余角相等得到∠EOM为直角，对应边相等得到OE=OM，可得出三角形EOM为等腰直角三角形，利用勾股定理得到EM=$\sqrt{2}$OE，再由EM=EC-CM，等量代换即可求出所求式子的结果．

解答 解：（1）在y=x-$\sqrt{2}$中，令y=0可得x=$\sqrt{2}$，令x=0，可得y=-$\sqrt{2}$，
∴A（$\sqrt{2}$，0），C（0，-$\sqrt{2}$），
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∴∠CAO=45°；
（2）如图1，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，
此时，直线l旋转到l₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O，B₁N．
则MN=t，OB₁=$\sqrt{2}$，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
连接B₁A，B₁P，则B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=$\sqrt{2}$，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直线AC绕点A平均每秒旋转90°÷3=30°；
（3）解：如图2，由（1）可知△OAC为⊙O₁的内接等腰直角三角形，AC为直径，
在CE上截取CM=AE，连接OM，
∵在△OAE和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCM}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCM（SAS），
∴∠AOE=∠COM，OM=OE，
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠AOE+∠AOM，
∴∠MOE=90°，
∴△OME为等腰直角三角形，
∴ME=$\sqrt{2}$EO，
又∵ME=EC-CM=EC-AE，
∴EC-AE=$\sqrt{2}$EO，即$\frac{EC-EA}{EO}$=$\sqrt{2}$，
∴当点E在劣弧AO上运动时（E不与A、O两点重合），则$\frac{EC-EA}{EO}$的值不变，其值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆的综合应用，涉及圆和圆的相切、直线和圆相切的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中注意等腰直角三角形的性质，在（2）中先求得t的值是解题的关键，在（3）中构造三角形全等，找到ME和EO的关系是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，有一定的难度．