Question

（1）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD长．
（2）已知△ABC中，AB=13，AC=15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：（1）由题意知，BD+DC=14，设BD=x，则CD=14-x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB²=AD²+BD²，在直角△ACD中，根据勾股定理AC²=AD²+CD²，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度．
（2）分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD，问题得解．

解答：解：（1）BC=14，且BC=BD+DC，
设BD=x，则DC=14-x，
则在直角△ABD中，AB²=AD²+BD²，
即13²=AD²+x²，
在直角△ACD中，AC²=AD²+CD²，
即15²=AD²+（14-x）²，
整理计算得x=5，
即AD=12．
（2）①如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD²=AB²-AD²=13²-12²=25，
即BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
即CD=9，
所以BC的长为BD+DC=9+5=14，
②钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD²=AB²-AD²=13²-12²=25，
即BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，
所以CD=9，
所以BC=DC-BD=9-5=4．

点评：（1）本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了学生的方程思想，本题中设BD=x，并且在直角△ABD和直角△ACD中根据勾股定理计算BD是解题的关键．
（2）本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．