题目内容
如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标为A（-8，0），B（3，0），C（0，4）．动点P从点A出发，沿着AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；动点Q从点B出发，沿着射线BC，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达B时，点Q也停止运动．P，Q两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长度；
（2）当△APQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）设△APQ的外接圆的圆心为M，当点C在⊙M上时，请求出t的值．
考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质
专题：综合题,分类讨论
分析：（1）在Rt△BOC中运用勾股定理就可求出BC的长；
（2）由于等腰△APQ的腰没有确定，因此需分三种情况（①PA=PQ，②QA=QP，③AP=AQ）讨论，作QH⊥x轴，垂足为H，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理建立关于t的方程，就可解决问题；
（3）根据圆周角定理可得∠PQC=∠PAC，从而证到△BAC∽△BQP，然后利用相似三角形的性质得到关于t的方程，就可解决问题．
（2）由于等腰△APQ的腰没有确定，因此需分三种情况（①PA=PQ，②QA=QP，③AP=AQ）讨论，作QH⊥x轴，垂足为H，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理建立关于t的方程，就可解决问题；
（3）根据圆周角定理可得∠PQC=∠PAC，从而证到△BAC∽△BQP，然后利用相似三角形的性质得到关于t的方程，就可解决问题．
解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，4），
∴OB=3，OC=4．
在Rt△BOC中，
∵∠BOC=90°，
∴BC=
=5．
（2）①当PA=PQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图1，
由题可得：PQ=PA=BQ=t．
∵A（-8，0），B（3，0），
∴OA=8，OB=3，∴AB=11．
∵sin∠HBQ=
=
=
，cos∠HBQ=
=
=
，
∴QH=
t，BH=
t．
∴PH=
=
．
在Rt△PHQ中，
∵QH2+PH2=PQ2，
∴(
t)2+(11-
t)2=t2．
解得：t1=5，t2=11．
②当QP=QA时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图2，
则AH=PH=
AP=
t，BH=11-
t．
又∵BH=
t（已证），
∴
t=11-
t．
解得：t=10．
③当AP=AQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图3，
则有AQ=AP=t．
在Rt△AHQ中，
∵QH2+AH2=AQ2，QH=
t，AH=11-
t，AQ=t，
∴（
t）2+（11-
t）2=t2．
解得：t=
．
终上所述：当△APQ为等腰三角形时，t的值为5、11、10、
．
（3）当点C在⊙M上时，如图4．
则有∠PQC=∠PAC．
∵∠PBQ=∠CBA，∠PQB=∠CAB，
∴△BAC∽△BQP，
∴
=
．
∴BA•BP=BC•BQ．
∵BA=11，BP=11-t，BC=5，BQ=t，
∴11（11-t）=5t．
解得：t=
．
∴当点C在⊙M上时，t的值为
．
∴OB=3，OC=4．
在Rt△BOC中，
∵∠BOC=90°，
∴BC=
| OB2+OC2 |
（2）①当PA=PQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图1，
由题可得：PQ=PA=BQ=t．
∵A（-8，0），B（3，0），
∴OA=8，OB=3，∴AB=11．
∵sin∠HBQ=
| QH |
| BQ |
| OC |
| BC |
| 4 |
| 5 |
| BH |
| BQ |
| OB |
| BC |
| 3 |
| 5 |
∴QH=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴PH=
|
|
在Rt△PHQ中，
∵QH2+PH2=PQ2，
∴(
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
解得：t1=5，t2=11．
②当QP=QA时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图2，
则AH=PH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵BH=
| 3 |
| 5 |
∴
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
解得：t=10．
③当AP=AQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图3，
则有AQ=AP=t．
在Rt△AHQ中，
∵QH2+AH2=AQ2，QH=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
解得：t=
| 55 |
| 6 |
终上所述：当△APQ为等腰三角形时，t的值为5、11、10、
| 55 |
| 6 |
（3）当点C在⊙M上时，如图4．
则有∠PQC=∠PAC．
∵∠PBQ=∠CBA，∠PQB=∠CAB，
∴△BAC∽△BQP，
∴
| BA |
| BQ |
| BC |
| BP |
∴BA•BP=BC•BQ．
∵BA=11，BP=11-t，BC=5，BQ=t，
∴11（11-t）=5t．
解得：t=
| 121 |
| 16 |
∴当点C在⊙M上时，t的值为
| 121 |
| 16 |
点评：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．
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A、y=
| ||
B、y=
| ||
| C、y=x+1 | ||
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