Question

1．如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为1的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D．
（1）如图1，点E是⊙O上的动点（与点C、D不重合），则∠DEC=45°或135°°．
（2）当b=$\sqrt{2}$时，直线AB与⊙O相切；当b满足b＞$\sqrt{2}$时，直线AB与⊙O相离；
（3）如图2，点E是⊙O上的动点，过点E作⊙O的切线交直线AB于点P，连接PO，当b=4时，求PE长的最小值．

Answer 1

分析 （1）只需分点E在优弧和劣弧上两种情况讨论，然后运用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补就可解决问题；
（2）过点O作OH⊥AB于H，如图1，运用面积法求出OH，然后根据OH=r时直线与圆相切及OH＞r时直线与圆相离就可解决问题；
（3）连接OE，如图2，根据圆的切线的性质可得∠OEP=90°，根据勾股定理可得EP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$．要求EP的最小值，只需OP最小，只需求出OP⊥AB时OP的值，就可解决问题．

解答 解：（1）当点E在优弧上时，∠CED=$\frac{1}{2}$∠COD=45°；
当点E在劣弧上时，∠CED=180°-45°=135°．
故答案为45°或135°．

（2）过点O作OH⊥AB于H，如图1．
∵点A、B是直线y=-x+b与x轴、y轴的交点，
∴A（b，0），B（0，b）．
∵b＞0，
∴OA=OB=b，
∴AB=$\sqrt{2}$b．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OH，
∴OH=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{{b}^{2}}{\sqrt{2}b}$=$\frac{b}{\sqrt{2}}$．
当OH=1即=$\frac{b}{\sqrt{2}}$=1也即b=$\sqrt{2}$时，直线AB与⊙O相切；
当OH＞1即$\frac{b}{\sqrt{2}}$＞1也即b＞$\sqrt{2}$时，直线AB与⊙O相离．
故答案为：$\sqrt{2}$，b＞$\sqrt{2}$；

（3）连接OE，如图2．
∵PE与⊙O相切于E，
∴∠OEP=90°，
∴EP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$．
当OP⊥AB时，OP取到最小值，最小值为$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
此时EP最小，最小值为$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$，
∴PE长的最小值为$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、勾股定理、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，把求EP的最小值转化为求OP的最小值，是解决第（3）小题的关键．