Question

19．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（-3，m）．
（1）求反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$和一次函数y₂=ax+b的表达式；
（2）点C 是坐标平面内一点，BC∥x 轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC=$\sqrt{5}$CD，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A在反比例函数图象上，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，由点B在反比例函数图象上，可求出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）由BC∥x轴结合点B的坐标可得出点C的纵坐标，再由点A的坐标结合AD⊥BC于点D，即可得出点D的坐标，即得出线段AD的长，在Rt△ADC中，由勾股定理以及线段AC、CD间的关系可求出线段CD的长，再结合点D的坐标即可求出点C的坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（-3，m），
∴点A（1，3）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的表达式为y₁=$\frac{3}{x}$．
∵点B（-3，m）在反比例函数y₁=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{3}{-3}$=-1．
∵点A（1，3）和点B（-3，-1）在一次函数y₂=ax+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{-3a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函数的表达式为y₂=x+2．
（2）依照题意画出图形，如图所示．

∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为-1，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=90°．
∵点A的坐标为（1，3），
∴点D的坐标为（1，-1），
∴AD=4，
∵在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²，且AC=$\sqrt{5}$CD，
∴$（\sqrt{5}CD）^{2}={4}^{2}+C{D}^{2}$，解得：CD=2．
∴点C₁的坐标为（3，-1），点C₂的坐标为（-1，-1）．
故点C的坐标为（-1，-1）或（3，-1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）通过解直角三角形求出线段CD的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．