Question

4．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B在⊙O上，PA=PB，PB的延长线与AC的延长线交于点M．
（1）求证；PB是⊙O的切线；
（2）当AC=6，PA=8时，求MB的长．

Answer 1

分析 （1）由△POA≌△POB，得∠PBO=∠PAO即可证明．
（2）设BM=x，OM=y，由△MOB∽△MPA，得$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BM}{MA}$=$\frac{OM}{PM}$，列出方程组即可解决问题．

解答 （1）证明：连接PO，
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△POA≌△POB，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O切线．
（2）解：设BM=x，OM=y，
∵∠M=∠M，∠OBM=∠MAP=90°，
∴△MOB∽△MPA，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{BM}{MA}$=$\frac{OM}{PM}$，
∴$\frac{3}{8}$=$\frac{x}{y+3}$=$\frac{y}{x+8}$，解得x=$\frac{144}{55}$，y=$\frac{219}{55}$，
∴BM=$\frac{144}{55}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．