Question

10．已知等边三角形ABC的面积为18$\sqrt{3}$，若以A为原点，AB为x轴正方向、2cm为单位长度建立平面直角坐标系，则C的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB于点D，根据等边三角形的性质，设AB=a，则CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，结合三角形的面积公式以及三角形ABC的面积为18$\sqrt{3}$，可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出线段AB的长，再根据坐标系的构建方式以及等边三角形的性质即可得出点C的坐标．

解答 解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．

∵△ABC为等边三角形，设AB=a，
则CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=18$\sqrt{3}$，
解得：a=6$\sqrt{2}$，或a=-6$\sqrt{2}$（舍去）．
∵直角坐标系以2cm为单位长度，
∴点B的坐标为（3$\sqrt{2}$，0），
∵△ABC为等边三角形，
∴点C的坐标为（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是找出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质结合三角形的面积公式得出等边三角形的边长，再依据坐标系的建立方式找出坐标轴上除原点外的另一顶点坐标是关键．