Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知AD=2，则图中长为2$\sqrt{3}$的线段有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 4条

Answer 1

分析 由角平分线的性质可得AD=DE，∠ABD=∠DBE，由垂直平分线性质可得BD=DC，∠DBE=∠DCE，已知AD，则结合这些信息可以求得AB，BE，CE的长．

解答 解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=DC，BE=EC，∠DBE=∠DCE，DE⊥BC，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBE，
∵AD⊥AB，DE⊥BE，
∴DE=AD=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠DBE=∠DCE=∠ABD=30°，
∴AB=AD•tan30°=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ABD和Rt△EBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BED}\\{∠ABD=∠DBE}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
即AB=BE，
∴AB=BE=EC=2$\sqrt{3}$．
即图中长为2$\sqrt{3}$的线段有3条．
故选：C．

点评 此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出BE=AB是解题关键．