Question

8．在△ABC中，点D在边AC上，BD=BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点．
（1）求证：EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）过点C作CG∥EF，交BE的延长线于G，求证：△BCG是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由BD=BA，E是AD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AD，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可证明EF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）先由CG∥EF，根据平行线的性质得出∠G=∠FEB，又EF=$\frac{1}{2}$BC=BF，根据等边对等角得出∠FEB=∠CBE，等量代换得到∠G=∠CBE，那么GC=BC，即△BCG是等腰三角形．

解答 证明：（1）∵BD=BA，E是AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴△EBC为直角三角形．
∵F是BC的中点，
∴EF是直角三角形斜边上中线
∴EF=$\frac{1}{2}$BC；

（2）∵CG∥EF，
∴∠G=∠FEB，
∵EF=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴∠FEB=∠CBE，
∴∠G=∠CBE，
∴GC=BC，
∴△BCG是等腰三角形．

点评 本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质．得出BE⊥AD是证明（1）的关键；得出∠G=∠CBE是证明（2）的关键．