Question

19．如图，∠PAQ=∠MBN=30°，∠MBN的顶点B在射线AP上，射线BM和射线BN分别交射线AQ于点C、D，当∠MBN绕点B转动时．若AB=2$\sqrt{3}$，则CA•CD的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 12

Answer 1

分析 由∠PAQ=∠MBN=30°、∠ACB=∠BCD证△ABC∽△BDC得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，即CA•CD=BC²，当BC⊥AQ时，BC取得最小值，结合Rt△ABC中AB=2$\sqrt{3}$、∠A=30°得BC的最小值为$\sqrt{3}$，即可得答案．

解答 解：∵∠PAQ=∠MBN=30°，∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$，即CA•CD=BC²，
而当BC⊥AQ时，BC取得最小值，
此时在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴BC的最小值为$\sqrt{3}$，
则CA•CD的最小值为3，
故选：A．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质、点到直线的距离，根据相似三角形的性质得出CA•CD=BC²，且明确BC⊥AQ时BC取得最小值是解题的关键．