Question

16．如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F，求证：CE与△CFG的外接圆相切．
点拨：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解．

Answer 1

分析 取FG的中点O，连结OC，证明△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，根据平行线的性质得到∠DAE=∠G，得到∠G=∠DCE，根据直角三角形的性质得到∠OCE=90°，根据切线的判定定理证明结论．

解答 证明：取FG的中点O，连结OC，
∵四边形ABCD是矩正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠G，
∴∠G=∠DCE
∵O为FG的中点，
∴OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∵∠G+∠OFC=90°，
∴∠DCE+∠OCF=90°，即∠OCE=90°，
∴CE与△CFG的外接圆相切．

点评 本题考查的是圆的切线的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线的判定定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．