如图1.分别以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系.A点的坐标为.将矩形OABC绕O点逆时针旋转.使B点落在y轴的正半轴上.旋转后的矩形为OA1B1C1.BC.A1B1相交于点M．(1)求点B1的坐标与线段B1C的长,(2)将图1的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移.如图2.矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置.BC.A2B2相交于点M1.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

3．如图1，分别以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA₁B₁C₁，BC、A₁B₁相交于点M．
（1）求点B₁的坐标与线段B₁C的长；
（2）将图1的矩形OA₁B₁C₁沿y轴向上平移，如图2，矩形PA₂B₂C₂是平移过程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于点M₁，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA₂B₂C₂与矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

分析（1）用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长，得点B₁的坐标；B₁C=B₁O-OC；
（2）求分段函数，以A₂落在BC上的时刻为界，将函数分为两段，画出图形，分别求函数解析式．

解答解：（1）如图1，∵OB₁=OB=5，
∴点B1的坐标为（0，5），
∵C（0，4），
∴OC=4，
∴B₁C=OB₁-OC=5-4=1；

（2）在矩形OA₁B₁C₁沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点A₁运动到矩形OABC的边BC上时，
重叠部分的面积为△PA₂C的面积，A₂C=$\frac{12}{5}$，
∵A₂P=3，
根据勾股定理得：CP=$\frac{9}{5}$，即4-x=$\frac{9}{5}$，
∴P点移动的距离x=$\frac{11}{5}$，
当自变量x的取值范围为0≤x＜$\frac{11}{5}$时，
如图2，由△B₂CM₁∽△B₂A₂P，
得CM₁=$\frac{3+3x}{4}$，
此时，y=S_△B2A2P-S_△B2CM1=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{3+3x}{4}$（1+x），
即y=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+6，
当自变量x的取值范围为$\frac{11}{5}$≤x≤4时，
∴y=S_△PCM1′=$\frac{2}{3}$（x-4）²．

点评本题主要考查图形的旋转、平移、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合应用，正确的理解题意是解决问题的关键．

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12．我们知道：对边平行且相等，四个角都是直角的四边形是长方形．你可以利用这一结论解答问题．

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