Question

2．在△ABC中，总有$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，利用这个知识请解答下题：
小明在内伶仃岛上的A处，上午11时测得在A的北偏东60°的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B处，12时40分又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动，求：
（1）点B到A的距离；
（2）船的航行速度．

Answer 1

分析 （1）在△AEC中，利用正弦定理求得sinC，然后在△ABC中利用正弦定理求得AB的长；
（2）在△ABE中利用余弦定理即可求得BE的长，然后利用速度公式求解．

解答 解：（1）轮船从C处到点B用了80分钟，从点B处到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动，
设BC=4EB，设BE=x，BC=4x，
在△AEC中，由正弦定理得：
sinC=$\frac{AE•sin∠EAC}{EC}$=$\frac{5sin150°}{5x}$=$\frac{1}{2x}$，
在△ABC中，由正弦定理得，
AB=$\frac{BC•sinC}{sin120°}$=$\frac{4x-\frac{1}{2x}}{sin120°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）在△ABE中，由余弦定理得 BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos30°，
∴BE²=25+$\frac{16}{3}$-2×5×$\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{31}{3}$，
∴BE=$\sqrt{\frac{31}{3}}$，
∴轮船船速是$\sqrt{\frac{31}{3}}$÷$\frac{20}{60}$=$\sqrt{93}$（千米/时）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解正弦定理和余弦定理的内容是关键．