Question

20．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，则FD的长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，只要证明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解决问题．

解答 证明：过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．
∵∠CFB=45°
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH=$\frac{1}{2}$GM，
∴BG=$\frac{1}{2}$GM，
∵BM=10，
∴BG=2 $\sqrt{5}$，GM=4 $\sqrt{5}$，
∴AG=4 $\sqrt{5}$，AB=10，
∴HF=2 $\sqrt{5}$，
∴CF=2 $\sqrt{5}$×$\sqrt{2}$=2 $\sqrt{10}$，
∴CM=2 $\sqrt{10}$，
∵CK=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$CF=$\sqrt{10}$，
∴BK=3 $\sqrt{10}$，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=3 $\sqrt{10}$，
DQ=CK=$\sqrt{10}$，
∴QF=3 $\sqrt{10}$-2 $\sqrt{10}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=$\sqrt{10+10}$=2 $\sqrt{5}$．
故答案为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．