Question

10．平面直角坐标系中，A（-2，6）、B（2，2）
（1）如图1，连接AO、BO，求△ABO的面积；
（2）如图2，在x轴上是否存在点P，使△ABP的面积等于6？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，延长AB交x轴于D，将AD绕点A顺时针旋转30°，它的延长线交y轴负半轴于点E，在第四象限的点F．使得x轴、y轴分别平分∠ADF、∠AEF，试求∠DFE的值．

Answer 1

分析 （1）先过点A作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，得出AC=6，BD=2=CO=DO，进而得到CD=4，最后根据△ABO的面积=梯形ABDC的面积-△ACO的面积-△BDO的面积，进行计算即可；
（2）设P（x，0），分两种情况进行讨论：当点P在直线AB的左侧时，△APB的面积=梯形ACDB的面积-△ACP的面积-△BDP的面积；当点P在直线AB的右侧时，△APB的面积=△ACP的面积-△ACO的面积-△AOB的面积-△BOP的面积，分别列出关于x 方程，求得x的值即可得到P点坐标；
（3）连接DE，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，求得∠FED+∠FDE=30°，进而根据△DEF中，∠DFE=180°-（∠FED+∠FDE）进行计算，即可得出∠DFE的值．

解答 解：（1）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则AC=6，BD=2=CO=DO，
∴CD=4，
∴△ABO的面积=梯形ABDC的面积-△ACO的面积-△BDO的面积
=$\frac{1}{2}$（2+6）×4-$\frac{1}{2}$×2×6-$\frac{1}{2}$×2×2
=16-6-2
=8；

（2）存在点P，使△ABP的面积等于6．
设P（x，0），
如图所示，当点P在直线AB的左侧时，△APB的面积=梯形ACDB的面积-△ACP的面积-△BDP的面积，
∵△ABP的面积等于6，
∴6=$\frac{1}{2}$（2+6）×4-$\frac{1}{2}$×6×（x+2）-$\frac{1}{2}$×2×（2-x），
解得x=1，
∴P（1，0）；
如图所示，当点P在直线AB的右侧时，△APB的面积=△ACP的面积-△ACO的面积-△AOB的面积-△BOP的面积，
∵△ABP的面积等于6，△ABO的面积=8，
∴6=$\frac{1}{2}$×6×（x+2）-$\frac{1}{2}$×2×6-8-$\frac{1}{2}$×2×x，
解得x=7，
∴P（7，0），
综上所述，点P的坐标为（1，0）或（7，0）；

（3）如图3，连接DE，
∵∠A=30°，
∴∠AED+∠ADE=180°-30°=150°，
∵∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠AEO+∠ADO=150°-90°=60°，
∵x轴、y轴分别平分∠ADF、∠AEF，
∴∠OEF=∠AEO，∠ODF=∠ADO，
∴∠OEF+∠ODF=∠AEO+∠ADO=60°，
又∵∠OED+∠ODE=90°，
∴∠FED+∠FDE=90°-60°=30°，
∴△DEF中，∠DFE=180°-（∠FED+∠FDE）=180°-30°=150°．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，以及三角形的面积计算公式的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造构造三角形，根据图形之间的面积关系进行求解．解题时注意：第（3）问也可以通过作辅助线，根据三角形外角性质进行计算求解．