Question

6．已知直线：y=-x+6交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在OA、AB上且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°．
（1）记点C的对应点是点E，且点E在y轴上，求点E的坐标；
（2）求sin∠AMC的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，由直线解析式y=-x+6得点A、B的坐标，即可知OA=OB=6，从而得知∠OAB=∠OBA=45°、AB=6$\sqrt{2}$，由OC=2CA、AM=2MB得AC=2、AM=4$\sqrt{2}$、BM=2$\sqrt{2}$，根据旋转的性质知AC=FE=2、∠MFE=∠MAC=45°，结合∠FBE=∠OBA=45°可得∠MFE=∠FBE=45°，从而知BE=FE=2，即可得出答案；
（2）作CN⊥AM于点N，由AC=2、∠OAB=45°得CN=AN=ACcos∠OAB=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$、MN=AM-AN=3$\sqrt{2}$，根据勾股定理知MC=$\sqrt{C{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，在Rt△MCN中，根据sin∠AMC=$\frac{CN}{CM}$可得答案．

解答 解：（1）如图所示，

y=-x+6中，当x=0时y=6，即点B（0，6），
当y=0时-x+6=0，解得x=6，即点A（6，0），
则OA=OB=6，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=6$\sqrt{2}$，
∵OC=2CA，AM=2MB，
∴AC=2，AM=4$\sqrt{2}$、BM=2$\sqrt{2}$，
∵将△ACM绕点M旋转180°得△FEM，
∴AC=FE=2，∠MFE=∠MAC=45°，
∵∠FBE=∠OBA=45°，
∴∠MFE=∠FBE=45°，
∴BE=FE=2，
则点E的坐标为（8，0）；

（2）作CN⊥AM于点N，
∵AC=2，∠OAB=45°，
∴CN=AN=ACcos∠OAB=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
则MN=AM-AN=3$\sqrt{2}$，
∴MC=$\sqrt{C{N}^{2}+M{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴在Rt△MCN中，sin∠AMC=$\frac{CN}{CM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查坐标与图形的变化-旋转、一次函数图象与坐标轴的交点、解直角三角形，根据题意及旋转的性质画出图形，并熟练掌握旋转的性质和解直角三角形的能力是解题的关键．