Question

5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，动点D在边BC上从点C向点B运动，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点P，若△BCP为等腰三角形，则CP²的值为16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．

Answer 1

分析 分三种情形：①如图1中，当PC=BC=4时，△BCP为等腰三角形，②如图2中，当PC=BP时，△BCP为等腰三角形，③如图3中，当BC=BP时，D与B重合，△BCP为等腰三角形分别求解即可．

解答 解：①如图1中，当PC=BC=4时，△BCP为等腰三角形，
∴CP²=16；
②如图2中，当PC=BP时，△BCP为等腰三角形，
∵点C关于直线AD的对称点为点P，
∴PC⊥AD，
过P作PF⊥BC于F，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，设CD=DP=x，则DF=2-x，PF=$\sqrt{{x}^{2}-（2-x）^{2}}$，
由△CFP∽△ACD得到$\frac{PF}{DC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}-（2-x）^{2}}}{x}$=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴PC²=PF²+CF²=4x-4+4=4x=18-6$\sqrt{5}$．
③如图3中，当BC=BP时，D与B重合，，△BCP为等腰三角形．
∵AC=3，BC=4，∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PC=2CO=2×$\frac{AC×CB}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∴PC²=$\frac{576}{25}$．
综上所述PC²的值为16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．
度答案为16或18-6$\sqrt{5}$或$\frac{576}{25}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．