Question

15．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B．C点都在第一象限内，且AO=AC，又以P（0，4$\sqrt{3}$）为圆心，PC为半径的圆恰好与OC所在的直线相切，则t=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-1
• B． 2$\sqrt{3}$+1
• C． 5
• D． 7

Answer 1

分析 先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．

解答 解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
∵⊙P恰好与OC所在的直线相切，
∴PC⊥OC，
∵AO=AC=OC，
∴∠AOC=60°，∠COP=30°，
在Rt△OPC中，
OC=OP•cos30°=$4\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴1+t=6，
∴t=5．
故答案选C．

点评 本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．