Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB．
（1）指出图中的相似三角形？并说明理由．
（2）若分别延长DE，BC交于点F，这时，图中还有哪些三角形相似？
（3）若连接EC、AF，这时，图中还有哪些三角形也相似？
（4）若∠B=60°，AF=6，求CE长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似，可得△AED∽△ACB；
（2）根据两角对应相等，则△ADE∽△FDC∽△FBE∽△ABC；
（3）根据△ACB∽△FEB，得夹∠B的两边对应成比例，所以又得△CEB∽△AFB；
（4）根据直角三角形30°角的性质得：$\frac{AB}{CB}=2$，由△CEB∽△AFB，得$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{CB}$=2，可以求出CE的长．

解答 解：（1）△AED∽△ACB，理由是：
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB；
（2）还有以下三角形相似：如图2，
①△ADE∽△FDC，理由是：
∵∠ADE=∠FDC，∠AED=∠DCF=90°，
∴△ADE∽△FDC，
∴∠A=∠F；
②△ACB∽△FEB，理由是：
∵∠A=∠F，∠B=∠B，
∴△ACB∽△FEB；
③△FDC∽△FBE，理由是：
∵∠F=∠F，∠DCF=∠BEF，
∴△FDC∽△FBE；
④△AED∽△FEB，理由是：
∵∠A=∠F，∠AED=∠FEB=90°，
∴△AED∽△FEB；
⑤△FDC∽△ABC，理由是：
∵∠A=∠F，∠FCD=∠ACB，
∴△FDC∽△ABC；
（3）还有△CEB∽△AFB，理由是：
∵△ACB∽△FEB，
∴$\frac{AB}{FB}=\frac{CB}{EB}$，
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{FB}{EB}$，
∵∠B=∠B，
∴△CEB∽△AFB；
（4）在Rt△ACB中，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AB=2CB，
∴$\frac{AB}{CB}$=2，
∵△CEB∽△AFB，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{CB}$=2，
∵AF=6，
∴CE=3．

点评 本题考查了三角形相似的性质和判定，三角形相似常运用两角对应相等这一方法来判定，除了两角对应相等外，还应掌握其它判定方法：①平行相似，②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，③三边对应成比例，两三角形相似．