Question

13．如图，已知AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，交⊙O于点C，连接PC、OP、BC．
（1）知识探究（如图1）：
①判断直线PC与⊙O的位置关系，请证明你的结论；
②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论．
（2）知识运用（如图2）：
当PA＞OA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）①PC与⊙O相切．易证明△PAO≌△PCO，则∠PAO=∠PCO，由PA是⊙O的切线，可知∠PAO=∠PCO=90°，即可证明结论；
②OP∥BC．由（1）可知∠POA=∠POC，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半可知∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，根据同位角相等可证明OP∥BC．
（2）根据OP∥BC，可知$\frac{BD}{OD}=\frac{CD}{PD}$，由BD=2AB，可知AD=6OA，OD=5OB，所以PD=5PC，设设PA=PC=R，OA=r，根据勾股定理列方程求出R与r的数量关系，即可在Rt△PAO中求出tan∠ABC=tan∠POA．

解答 （1）①PC与⊙O相切．
证明：如图1，连接OC，
在△PAO和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{PO=PO}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PAO=∠PCO，
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切．
②OP∥BC．
证明：∵△PAO≌△PCO，
∴∠POA=∠POC，
又∵∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC（同弧所对圆周角是圆心角的一半），
∴∠ABC=∠POA，
∴OP∥BC．
（2）解：如图2，
∵BD=2AB，
∴BD=4OB，AD=6OA，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{4}{5}$，
∵OP∥BC，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{CD}{PD}=\frac{4}{5}$，
∴PD=5PC，
设PA=PC=R，OA=r，
∴AD=6r，PD=5R，
∵PA²+AD²=PD²，
∴R²+（6r）²=（5R）²
解得：R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
∵tan∠ABC=tan∠POA=$\frac{PA}{OA}$，
∴tan∠ABC═$\frac{PA}{OA}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}r}{r}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．