Question

17．如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，E，F分别在AD，CD上，且AE=AO，CF=CO．
（1）求∠EOF的度数；
（2）画△COG，使△COG与△AOE关于点O成中心对称；
（3）若OE=4$\sqrt{2}$，OF=6，求AC的长．

Answer 1

分析 解：（1）利用等腰三角形的性质得∠2=∠AEO，∠3=∠CFO，再根据三角形内角和定理得到∠1=180°-2∠2，∠4=180°-2∠3，则可计算出∠2+∠3=135°，然后利用平角的定义可计算出∠EOF=45°；
（2）利用平行四边形为中心对称图形，于是延长EO交BC于G，则△COG为所作；
（3）作FH⊥EG于H，连结GF，如图，易得△OFH为等腰直角三角形，所以FH=HO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OF=3$\sqrt{2}$，则利用中心对称的性质得OG=OE=4$\sqrt{2}$，CG=AE，接着根据勾股定理计算出GF=2$\sqrt{29}$，然后证明△CGF为等腰直角三角形得到CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF=$\sqrt{58}$，于是得到AC=2CG=2$\sqrt{58}$．

解答 解：（1）∵AE=AO，CF=CO．
∴∠2=∠AEO，∠3=∠CFO，
∴∠1=180°-2∠2，∠4=180°-2∠3，
而∠1+∠4=90°，
∴360°-2（∠2+∠3）=90°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠EOF=180°-（∠2+∠3）=45°；
（2）延长EO交BC于G，如图，则△COG为所作；
（3）作FH⊥EG于H，连结GF，如图，
∵∠EOF=45°，
∴△OFH为等腰直角三角形，
∴FH=HO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∵△COG与△AOE关于点O成中心对称，
∴OG=OE=4$\sqrt{2}$，CG=AE，
∴GH=OG+OH=7$\sqrt{2}$，
在Rt△GFH中，GF=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{29}$，
∵点O为AC的中点，
∴CG=OC=CF，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{29}$=$\sqrt{58}$，
∴AC=2CG=2$\sqrt{58}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决（3）小题的根据是利用45°构建等腰直角三角形．