Question

20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：
（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）设x秒后△PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况；
（2）根据等量关系“四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积”列出函数关系求最小值即可．

解答 解：（1）设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP=x，PB=12-2x，BQ=4x，
∵∠PBQ=∠ABC
∴当$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，
即$\frac{12-2x}{12}=\frac{4x}{24}$，
解得x=3（s）；
当$\frac{PB}{CB}=\frac{BQ}{BA}$时，△PBQ∽△CBA，
即$\frac{12-2x}{24}=\frac{4x}{12}$，
解得x=$\frac{6}{5}$（s）．
即经过3秒或$\frac{6}{5}$秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm²，
则有：S=S_△ABC-S_△PBQ
=$\frac{1}{2}$×12×24-$\frac{1}{2}$×4t×（12-2t）
=4t²-24t+144
=4（t-3）²+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值，最小值为108mm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定、三角形面积的计算以及最小值问题．也考查了动点问题的解决方法．