Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点D，且l∥BC．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）作∠ABC的平分线BE交AD于点E，求证：BD=DE．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由直线l与⊙O相切于点D可得出OD⊥l，结合l∥BC即可得出OD⊥BC，再根据垂径定理即可得出$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，进而可得出∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD=∠DEB，由此即可证出BD=DE．

解答 证明：（1）连接OD，如图所示．
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥l．
∵l∥BC，
∴OD⊥BC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CBE=∠BAE+∠ABE．
又∵∠DEB=BAE+∠ABE，
∴∠EBD=∠DEB，
∴BD=DE．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，通过角的计算找出∠BAD=∠CAD（∠EBD=∠DEB）是解题的关键．