Question

18．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是AC中点，∠ADF=∠CDB，连接CF交BD于E，求证：BD⊥CF．

Answer 1

分析 先延长DF交过A的垂线AG⊥AC于G，根据ASA证出△BDC≌△GDA，得出ACBG为正方形，再根据正方形的性质得出BC=BG，∠CBF=∠GBF=45°，从而证出△BCF≌△BGF，得出∠CFB=∠GFB=∠AFD，再根据三角形的内角和定理得出∠BDC=∠BCE，最后根据∠BEC=∠CDE+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90°，即可得出结论．

解答 解：延长DF交过A的垂线AG⊥AC于G
∵BD为AC上的中线，
∴AD=CD，
在△BDC和△GDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CDB}\\{AD=DC}\\{∠DAG=∠DCB}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△GDA（ASA），
∴AG=BC，
∴ACBG为正方形，
∴BC=BG，∠CBF=∠GBF=45°，
在△BCF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BG}\\{∠CBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BGF（SAS），
∴∠CFB=∠GFB=∠AFD，
∴∠ADF=∠BCF，
∴∠BDC=∠BCE，
∴∠BEC=∠CDE+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90°，
∴BD⊥CF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，找出全等的三角形．