Question

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且OB=OC．    
（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据OB=OC，可得C点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得G点坐标，根据点在函数图象上，可得P（x，x²-2x-3），根据待定系数法，可得直线AG的解析式，根据PQ平行于y轴，可得Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点的纵坐标，根据线段的和差，可得PQ的长，根据面积的和差，可得用x表示出三角形的面积，根据二次函数的最值，可得答案．

解答 解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB=OC，得C（0，-3）；
（2）二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
这个二次函数的解析式y=x²-2x-3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x=2时，y=2²-2×2-3=-3，G（2，-3），
直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），
PQ=-x²+x+2．S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3
当x=$\frac{1}{2}$时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），S_△APG最大=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，（1）利用了等量关系，（2）利用了待定系数法求函数解析式，（3）利用了自变量与函数值的对应关系得出P、Q点的坐标，又利用了面积的和差，利用了二次函数的性质．