Question

如图，在圆内接四边形ABCD中，BC=DC，求证：CA²-CB²=AB•AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：连接AC，作CM⊥AB的延长线于M，CN⊥AD于N，根据同圆中，等弦对等弧，等弧对等角得出∠BAC=∠DAC，根据圆内接四边形的性质求得∠ADC=∠CBM，然后根据AAS求得△CBM≌△CDN（AAS），得出CM=CN；BM=DN，进而根据HL求得△ACM≌△ACN求得AM=AN，从而求得AD=AB+2BM，根据勾股定理得出BC²=CM²+BM²…①，AC²=AM²+CM²=（AB+BM）²+CM²…②，②-①即可求得结论．

解答：证明：如图所示：连接AC，作CM⊥AB的延长线于M，CN⊥AD于N
∵BC=DC；
∴

BC

=

DC

∴∠BAC=∠DAC，
又∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
在△CBM与△CDN中，

∠ADC=∠CBM ∠CND=∠CMB=90° DC=BC

，
∴△CBM≌△CDN（AAS），
∴CM=CN；BM=DN，
在RT△ACM与RT△ACN中，

CM=CN AC=AC

，
∴△ACM≌△ACN（HL），
∴AM=AN，
∴AD=AN+DN=AM+DN=AB+BM+BM=AB+2BM，
在Rt△BCM中有：BC²=CM²+BM²…①
在Rt△ACM中有：AC²=AM²+CM²=（AB+BM）²+CM²…②
②-①得：AC²-BC²=AB²+2AB•BM=AB（AB+2BM）=AB•AD，
即CA²-CB²=AB•AD．

点评：本题考查了圆周角、弦、弧的关系，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．