Question

如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，由E为AB中点，得到AE=EB，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到三角形ACE与三角形BFE全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=EF，AC=BF，即CF=2CE，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC=AB，根据B为AD中点，得到AC=AB=BD=BF，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=CF，等量代换即可得证．

解答：证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE=BE，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，
在△ACE和△BFE中，

∠A=∠ABF ∠ACE=∠F AE=BE

，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE=EF，AC=BF，
∴CF=2CE，
又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，
∴AC=AB=BD=BF，
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，
∴∠DBC=∠FBC，
在△DBC和△FBC中，

DB=FB ∠DBC=∠FBC BC=BC

，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴DC=CF=2CE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．