Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，
连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）求证：E为OB的中点；
（3）若AB=8，求弧BC、CG、BG组成的图形的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据平行线的性质求出OC⊥CG，根据切线的判定得出即可；
（2）根据垂径定理求出CE=DE，证△BDE∽△OCE，得出比例式，即可得出OE=BE，即可得出答案；
（3）求出OC和OE，即可求出∠COE和∠G，分别求出△OCG和扇形COB的面积，即可求出答案．

解答：（1）解：CG是⊙O的切线，
理由是：∵CG∥AD，
∴∠FCG+∠CFD=180°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFG=90°，
∴∠FCG=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠AFO=90°，
∴DB∥CF，
∴△BDE∽△OCE，
∴

BE

OE

=

DE

CE

，
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE，
∴BE=OE，
即点E为OB的中点；

（3）解：∵直径AB=8，
∴OC=4，OB=4，OE=2，
∴∠OCE=30°，
∵∠OEC=90°，
∴∠COE=60°，
∵∠OCG=90°，
∴∠G=90°-60°=30°，
∴OG=2OC=8，由勾股定理得：CG=

82-42

=4

3

，
∴弧BC、CG、BG组成的图形的面积S=S_△OCG-S_扇形COB=

1

2

×4×4

3

-

60π•42

360

=8

3

-

8

3

π．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，扇形的面积，含30度角的直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，有一定的难度．