Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、点B正好在同一直线上，那么∠A′AC′的正切值等于

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：分类讨论：当C′点在线段AB上，如图1，连结AA′，先利用勾股定理计算出AB=5，在根据旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，则AC′=AB-BC′=1，然后在Rt△AA′C′中，利用正切的定义即可得到tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=3；当C′点在线段AB的延长线上，如图2连结AA′，根据旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，则AC′=AB+BC′=9，然后在Rt△AA′C′中，根据正切的定义得到tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

1

3

．

解答：解：当C′点在线段AB上，如图1，连结AA′，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB-BC′=1，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

3

1

=3；
当C′点在线段AB的延长线上，如图2，连结AA′，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB+BC′=9，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′=

A′C′

AC′

=

3

9

=

1

3

，
综合所述，∠A′AC′的正切值等于

1

3

或3．
故答案为

1

3

或3．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了锐角三角函数的定义．